Kalkulator silni, kombinacji i permutacji

Silnia liczby naturalnej n (zapisywana n!) to iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do n. Na przykład 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Szczególny przypadek: 0! = 1 z definicji. Silnia jest podstawowym pojęciem kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa.

Kombinacje C(n, k) określają, na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru, gdy kolejność wyboru nie ma znaczenia. Wzór: C(n, k) = n! / (k! × (n–k)!). Przykład: C(5, 2) = 10 — spośród 5 osób można wybrać 2-osobową grupę na 10 różnych sposobów.

Permutacje P(n, k) określają, na ile sposobów można ułożyć k elementów wybranych z n-elementowego zbioru, gdy kolejność ma znaczenie. Wzór: P(n, k) = n! / (n–k)!. Przykład: P(5, 2) = 20 — spośród 5 osób można wybrać prezesa i wiceprezesa na 20 różnych sposobów.

Kluczowa różnica to rola kolejności. W kombinacjach {A, B} i {B, A} to ten sam wybór — liczy się tylko skład grupy. W permutacjach (A, B) i (B, A) to dwa różne ustawienia — liczy się kolejność. Dlatego P(n, k) = C(n, k) × k! — każdą kombinację można permutować na k! sposobów.

Kalkulator używa standardowej arytmetyki zmiennoprzecinkowej IEEE 754 (typ number w JavaScript). Poprawne wyniki uzyskasz dla n ≤ 170 — dla n = 171 silnia przekracza maksymalną wartość i wynosi Infinity. Przy kombinacjach stosowany jest algorytm iteracyjny, który minimalizuje błędy zaokrągleń.

Definicja 0! = 1 wynika z dwóch powodów: (1) z reguły rekurencji n! = n × (n–1)! — dla n = 1 mamy 1! = 1 × 0!, stąd 0! = 1; (2) z definicji kombinatorycznej — istnieje dokładnie jeden sposób ułożenia pustego zbioru (puste słowo). Ułatwia to też pisanie wzorów ogólnych bez wyjątków.

Kombinacja C(n, k) wynosi 0, gdy k > n — nie można wybrać więcej elementów niż jest dostępnych. Kalkulator automatycznie zwraca 0 w takim przypadku. C(n, 0) = 1 i C(n, n) = 1 — są to poprawne wartości brzegowe.

Wartości C(n, k) tworzą dokładnie trójkąt Pascala — n-ty wiersz zawiera wartości C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n). Każdy element jest sumą dwóch elementów nad nim: C(n, k) = C(n–1, k–1) + C(n–1, k). Trójkąt Pascala pojawia się w dwumianie Newtona, teorii prawdopodobieństwa i fraktalu Sierpińskiego.

Kalkulator przydaje się w: (1) probabilistyce — obliczanie prawdopodobieństwa w loterii, kartach, kościach; (2) statystyce — testy chi-kwadrat, współczynniki dwumianowe; (3) kryptografii i informatyce — liczba możliwych kluczy, permutacji ciągów; (4) biologii — analiza kombinacji genów; (5) zadaniach konkursowych i maturalnych z kombinatoryki.

C(52, 5) = 52! / (5! × 47!) = 2 598 960. Oznacza to, że z talii 52 kart można rozdać 5-kartową rękę w ponad 2,5 miliona różnych sposobów. Wpisz n = 52 i k = 5 do kalkulatora, aby uzyskać wynik natychmiastowo.