Kalkulator logarytmów — log_b(x), ln i log10

Logarytm liczby x przy podstawie b (zapisywany log_b(x)) to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę b, aby otrzymać liczbę x. Na przykład log_2(8) = 3, ponieważ 2³ = 8. Logarytm jest więc operacją odwrotną do potęgowania. Podstawa b musi być dodatnia i różna od 1, a liczba x musi być dodatnia.

Logarytm naturalny (ln) ma podstawę e ≈ 2,71828 (liczba Eulera) i zapisujemy go jako ln(x). Logarytm dziesiętny ma podstawę 10 i zapisujemy go jako log(x) lub log10(x). Oba to logarytmy o ustalonej podstawie — różnią się jedynie podstawą. Logarytm naturalny dominuje w matematyce i fizyce, a dziesiętny w technice i pomiarach.

Wzór na zmianę podstawy brzmi: log_b(x) = ln(x) / ln(b), albo równoważnie log_b(x) = log(x) / log(b). Pozwala obliczyć logarytm o dowolnej podstawie za pomocą logarytmu naturalnego lub dziesiętnego, które są dostępne w każdym kalkulatorze. Ten kalkulator korzysta dokładnie z tego wzoru: log_b(x) = ln(x) / ln(b).

Dla dowolnej dodatniej podstawy b (różnej od 1) zachodzi log_b(1) = 0, ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1 (b⁰ = 1). Niezależnie od tego, czy podstawą jest 2, 10 czy e, logarytm jedynki zawsze wynosi zero. To jedna z podstawowych własności logarytmów.

Kluczowe reguły to: log(a·b) = log(a) + log(b) (logarytm iloczynu to suma logarytmów), log(a/b) = log(a) − log(b) (logarytm ilorazu to różnica), oraz log(aⁿ) = n·log(a) (logarytm potęgi). Te reguły zamieniają mnożenie na dodawanie, dlatego historycznie logarytmy ułatwiały skomplikowane obliczenia.

Nie — w zbiorze liczb rzeczywistych logarytm jest zdefiniowany tylko dla liczb dodatnich (x > 0). Logarytm z zera dąży do minus nieskończoności, a logarytm z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych. Dlatego ten kalkulator wymaga, aby liczba x była większa od zera, a podstawa b dodatnia i różna od 1.

Gdyby podstawą była 1, to 1 podniesione do dowolnej potęgi zawsze daje 1, więc nie da się otrzymać innej liczby niż 1. Logarytm przy podstawie 1 byłby nieokreślony dla x ≠ 1 i niejednoznaczny dla x = 1. Z tego powodu podstawa musi być dodatnia i różna od 1 (b > 0, b ≠ 1).

Logarytmy są wszędzie tam, gdzie skala obejmuje wiele rzędów wielkości. Skala pH (kwasowość) jest logarytmem stężenia jonów wodorowych, skala decybeli (głośność dźwięku) jest logarytmiczna, a skala Richtera mierzy energię trzęsień ziemi logarytmicznie. Logarytmy stosuje się też w finansach (procent składany), informatyce (złożoność algorytmów) i statystyce.

Skala logarytmiczna to sposób przedstawiania danych, w którym kolejne równe odstępy odpowiadają mnożeniu przez stały współczynnik (np. ×10), a nie dodawaniu. Pozwala zmieścić na jednym wykresie zarówno bardzo małe, jak i bardzo duże wartości. Stosuje się ją m.in. w wykresach częstotliwości, sejsmologii, akustyce i analizie wzrostu wykładniczego.

Kalkulator przyjmuje liczbę x oraz podstawę b i oblicza trzy wartości: logarytm przy podanej podstawie ze wzoru log_b(x) = ln(x) / ln(b), logarytm naturalny ln(x) o podstawie e oraz logarytm dziesiętny log10(x) o podstawie 10. Wyniki są zaokrąglane do 6 miejsc po przecinku. Jeśli dane są nieprawidłowe (x ≤ 0, b ≤ 0 lub b = 1), kalkulator zwraca zera.