Kalkulator równań kwadratowych

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Współczynnik a to wyraz przy x², b to wyraz przy x, a c to wyraz wolny. Np. 2x² − 5x + 3 = 0 to równanie kwadratowe z a=2, b=−5, c=3.

Delta (oznaczana Δ) to wyróżnik trójmianu kwadratowego: Δ = b² − 4ac. Wartość delty decyduje o liczbie rozwiązań równania. Np. dla równania x² − 5x + 6 = 0: Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.

Zależy od delty: gdy Δ > 0 — dwa różne rozwiązania (pierwiastki) rzeczywiste; gdy Δ = 0 — jedno rozwiązanie (podwójny pierwiastek); gdy Δ < 0 — brak rozwiązań rzeczywistych (pierwiastki zespolone).

Gdy Δ ≥ 0, pierwiastki obliczamy ze wzoru: x₁ = (−b − √Δ) / (2a) i x₂ = (−b + √Δ) / (2a). Gdy Δ = 0, oba wzory dają ten sam wynik: x = −b / (2a).

Gdy Δ < 0, równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Geometrycznie oznacza to, że parabola ax² + bx + c nie przecina osi OX. Np. x² + 1 = 0 nie ma rozwiązań, bo x² = −1 nie jest możliwe dla liczb rzeczywistych.

Gdy Δ = 0, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x₀ = −b / (2a). Nazywamy je podwójnym pierwiastkiem lub pierwiastkiem krotności 2. Geometrycznie parabola jest styczna do osi OX w jednym punkcie.

Wzory Viète'a: suma pierwiastków x₁ + x₂ = −b/a, iloczyn pierwiastków x₁ · x₂ = c/a. Pozwalają sprawdzić obliczenia bez liczenia pierwiastków. Np. x² − 5x + 6 = 0: x₁+x₂ = 5, x₁·x₂ = 6, więc x₁=2, x₂=3.

Wierzchołek paraboli y = ax² + bx + c ma współrzędne: p = −b/(2a) i q = −Δ/(4a). Jest to punkt, w którym parabola osiąga minimum (a > 0) lub maksimum (a < 0). Współrzędna p to też oś symetrii paraboli.

Gdy równanie ma dwa pierwiastki x₁ i x₂, trójmian rozkłada się na: a(x − x₁)(x − x₂). Np. x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3). Gdy Δ = 0: a(x − x₀)². Gdy Δ < 0, rozkładu na czynniki liniowe nie ma.

Nie — gdy a = 0, wyrażenie ax² + bx + c = 0 staje się równaniem liniowym bx + c = 0, a nie kwadratowym. Równanie kwadratowe wymaga a ≠ 0. W takim przypadku użyj kalkulatora równań liniowych.