Kalkulator z-score (wynik standaryzowany)

Z-score (wynik standaryzowany) to miara wyrażająca, o ile odchyleń standardowych dana wartość różni się od średniej. Wzór: z = (x − μ) / σ. Wynik dodatni oznacza wartość powyżej średniej, ujemny — poniżej. Z-score umożliwia porównywanie wartości z różnych rozkładów na wspólnej skali.

Z-score oblicza się ze wzoru z = (x − μ) / σ, gdzie x to analizowana wartość, μ (mi) to średnia populacji lub próby, a σ (sigma) to odchylenie standardowe. Wynik informuje, ile odchyleń standardowych dzieli obserwację od średniej. Jeśli odchylenie standardowe wynosi 0, z-score jest nieokreślony (przyjmujemy z = 0).

Standaryzacja pozwala porównywać wartości z różnych rozkładów lub o różnych jednostkach. Stosuje się ją w statystyce, uczeniu maszynowym (normalizacja cech przed modelowaniem), psychometrii (wyniki testów IQ, SAT), medycynie (siatki centylowe, BMI-z) oraz finansach (odchylenie stopy zwrotu od średniej rynkowej).

Rozkład normalny (Gaussa) to symetryczny rozkład dzwonowy opisany przez średnią μ i odchylenie standardowe σ. Z-score przelicza dowolną wartość na standardowy rozkład normalny N(0,1) o średniej 0 i odchyleniu 1. Dzięki temu można korzystać z tablic rozkładu normalnego lub dystrybuanty Φ, by odczytać prawdopodobieństwo.

Percentyl wskazuje, jaki odsetek populacji ma wartość niższą lub równą danej obserwacji. Dla z = 0 percentyl wynosi 50% (połowa populacji poniżej). Dla z = 1 percentyl wynosi ok. 84,1%, dla z = 2 ok. 97,7%, dla z = 3 ok. 99,9%. Przeliczenie realizuje dystrybuanta Φ(z) = P(Z ≤ z).

Powszechnie przyjęta reguła: wartości z |z| > 3 (trzy odchylenia od średniej) traktuje się jako potencjalne wartości odstające. W rozkładzie normalnym poza zakresem ±3σ leży jedynie ok. 0,27% obserwacji. W niektórych dziedzinach (np. kontrola jakości, finanse) stosuje się bardziej rygorystyczny próg |z| > 2,5 lub |z| > 2.

Reguła empiryczna rozkładu normalnego: ok. 68% obserwacji mieści się w przedziale ±1σ (z ∈ [−1, 1]), ok. 95% w ±2σ (z ∈ [−2, 2]), a ok. 99,7% w ±3σ (z ∈ [−3, 3]). Reguła ta jest przydatna do szybkiej oceny, jak wyjątkowa jest dana obserwacja w kontekście całej populacji.

Wzór jest identyczny: z = (x − x̄) / s, przy czym zamiast średniej populacji μ używamy średniej próby x̄, a zamiast odchylenia standardowego populacji σ — odchylenia standardowego próby s (obliczanego z korektą Bessela, dzielnikiem n−1 zamiast n). Kalkulator przyjmuje dowolną kombinację: wpisz obliczone wcześniej wartości.

Z-score zakłada, że dane mają rozkład zbliżony do normalnego. Dla rozkładów silnie skośnych lub wielomodalnych wynik z-score może być mylący. Ponadto w małych próbach (n < 30) odchylenie standardowe jest niepewne, co obniża wiarygodność z-score. W takich przypadkach warto rozważyć testy nieparametryczne lub transformacje danych.

Z-score ma średnią 0 i odchylenie 1. T-score (stosowany np. w testach psychologicznych) przekształca z-score na skalę ze średnią 50 i odchyleniem 10: T = 50 + 10z. Wyniki IQ to kolejna transformacja: IQ = 100 + 15z. Wszystkie te skale opisują to samo zjawisko, różniąc się jedynie przyjętymi parametrami prezentacji.