Trygonometria: sin, cos, tan — wzory i kalkulator online

Trygonometria to dział matematyki badający związki między kątami a bokami trójkątów. Funkcje trygonometryczne — sinus, cosinus, tangens i cotangens — są niezbędne w geometrii, fizyce, inżynierii i informatyce. W tym przewodniku poznasz ich definicje, wzory i praktyczne zastosowania.

Definicje funkcji trygonometrycznych

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym α, boku przeciwległym a, boku przyległym b i przeciwprostokątnej c:

• sin α = a / c — stosunek boku przeciwległego do przeciwprostokątnej
• cos α = b / c — stosunek boku przyległego do przeciwprostokątnej
• tan α = a / b = sin α / cos α — stosunek boku przeciwległego do przyległego
• ctg α = b / a = cos α / sin α — stosunek boku przyległego do przeciwległego

Wartości trygonometryczne dla typowych kątów

Warto znać wartości funkcji dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°:

• 0°: sin=0, cos=1, tan=0
• 30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=1/√3 ≈ 0,577
• 45°: sin=√2/2, cos=√2/2, tan=1
• 60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3 ≈ 1,732
• 90°: sin=1, cos=0, tan=niezdefiniowany

Przeliczanie stopni na radiany i odwrotnie

Kalkulatory naukowe często pracują w radianach. Aby przeliczyć:

• Stopnie na radiany: rad = stopnie × π / 180
• Radiany na stopnie: stopnie = rad × 180 / π

Przykład: 90° = π/2 ≈ 1,571 rad. Zawsze sprawdzaj tryb kalkulatora (DEG lub RAD) przed obliczeniami.

Podstawowe wzory trygonometryczne

Jedynka trygonometryczna

sin²α + cos²α = 1 — to najważniejszy wzór trygonometryczny, wynikający z twierdzenia Pitagorasa.

Wzory na sumy i różnice kątów

• sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
• cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
• tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)

Wzory na kąt podwójny

• sin(2α) = 2 · sin α · cos α
• cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1

Funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym

Na okręgu o promieniu 1, dla kąta α mierzonego od osi OX:

• Współrzędna x punktu = cos α
• Współrzędna y punktu = sin α

To podejście rozszerza definicję na kąty tępe, rozwarste i większe niż 360°, co jest niezbędne w fizyce fal i sygnałów.

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Dla dowolnego trójkąta o bokach a, b, c i kątach A, B, C naprzeciwko nich:

• Twierdzenie sinusów: a/sin A = b/sin B = c/sin C
• Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² − 2ab · cos C

Twierdzenie cosinusów to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na trójkąty nieproste.

Zastosowania trygonometrii w praktyce

• Architektura i budownictwo — obliczanie kąta dachu, długości krokwi, wytrzymałości konstrukcji.
• Nawigacja — kurs statku lub samolotu wyznaczany trygonometrycznie.
• Fizyka — składowe sił, prędkości i przyspieszeń w układzie współrzędnych.
• Elektronika — sygnały sinusoidalne, filtrowanie, analiza Fouriera.
• Grafika komputerowa — obroty obiektów 2D i 3D używają sin i cos.

Użyj naszego kalkulatora trygonometrycznego aby szybko obliczyć wartości sin, cos i tan dla dowolnego kąta.

FAQ — najczęstsze pytania o trygonometrię