Калькулятор арифметичної прогресії — загальний член і сума

Арифметична прогресія — це послідовність чисел, у якій різниця між кожним наступним і попереднім членом стала. Це значення називають різницею r. Напр. 2, 5, 8, 11... — арифметична прогресія з різницею r = 3.

За формулою a_n = a₁ + (n − 1) · r, де a₁ — перший член, r — різниця, n — номер члена. Для a₁ = 2, r = 3 маємо a₁₀ = 2 + 9 · 3 = 29.

За формулою Sₙ = n · (a₁ + a_n) / 2 — кількість членів, помножена на середнє першого й останнього. Для a₁ = 2, a₁₀ = 29, n = 10: S₁₀ = 10 · 31 / 2 = 155.

Це стала величина, на яку змінюється кожен наступний член. Додатне r означає зростаючу прогресію, від’ємне — спадну, а r = 0 — сталу. Її можна знайти як r = a_(n+1) − a_n.

В арифметичній наступні члени утворюються додаванням сталої різниці (2, 5, 8, 11). У геометричній — множенням на сталий знаменник (2, 6, 18, 54). Арифметична зростає лінійно, геометрична — експоненційно.

Так. Від’ємна різниця дає спадну прогресію, напр. для a₁ = 20, r = −3: 20, 17, 14, 11, 8... Формули члена й суми працюють однаково незалежно від знака різниці.

Регулярне відкладання сталої суми щомісяця, кількість місць у рядах глядацької зали, що зростає на сталу величину, платежі, що зменшуються на однакову суму, чи кілометрові стовпчики вздовж дороги.

Якщо перший ряд має a₁ місць, а кожен наступний — на r більше, то n-й ряд має a_n = a₁ + (n − 1) · r, а загалом Sₙ = n · (a₁ + a_n) / 2. Напр. 20 місць, +2 щоряду, 15 рядів → 510 місць.

Так, n — це позиція в послідовності, тож додатне ціле число (1–100000); калькулятор округлює вниз. Перший член a₁ і різниця r можуть бути будь-якими, зокрема дробовими й від’ємними.

Так: Sₙ = n · (2a₁ + (n − 1) · r) / 2. Вона дає змогу порахувати суму безпосередньо з a₁, r і n, не обчислюючи спершу a_n. Результат ідентичний формулі з останнім членом.