Калькулятор z-score

Z-score (стандартизований результат) вимірює, на скільки стандартних відхилень спостереження відрізняється від середнього. Формула: z = (x − μ) / σ. Додатний z-score означає значення вище середнього, від'ємний — нижче.

z = (x − μ) / σ, де x — значення, μ — середнє популяції, σ — стандартне відхилення. Якщо σ = 0, z-score не визначений (калькулятор повертає 0).

Стандартизація дозволяє порівнювати значення з різних розподілів: результати IQ, SAT, центильні таблиці, нормалізація ознак у машинному навчанні, аналіз дохідності інвестицій.

Нормальний (гауссів) розподіл — симетрична дзвоноподібна крива, описана середнім μ і стандартним відхиленням σ. Z-score перетворює будь-яке значення на стандартний нормальний розподіл N(0,1), що дозволяє використовувати функцію розподілу Φ для обчислення перцентилів.

Перцентиль показує, яка частка популяції має значення нижче або рівне даному. Для z = 0 перцентиль = 50%, для z = 1 приблизно 84,1%, для z = 2 приблизно 97,7%, для z = 3 приблизно 99,9%.

Поширене правило: значення з |z| > 3 вважаються потенційними викидами. У нормальному розподілі поза межами ±3σ знаходиться лише близько 0,27% спостережень.

Емпіричне правило: близько 68% спостережень потрапляють у межі ±1σ, близько 95% — у ±2σ, близько 99,7% — у ±3σ. Це допомагає швидко оцінити, наскільки унікальним є спостереження.

Формула та ж: z = (x − x̄) / s, де x̄ — середнє вибірки, s — стандартне відхилення вибірки (з поправкою Бесселя, дільник n−1). Введіть попередньо обчислені значення в калькулятор.

Z-score передбачає, що дані мають приблизно нормальний розподіл. Для сильно скошених або мультимодальних розподілів результат може бути хибним. У малих вибірках (n < 30) стандартне відхилення є ненадійним.

Z-score має середнє 0 і SD 1. T-score перетворює його на шкалу з середнім 50 і SD 10: T = 50 + 10z. IQ використовує середнє 100 і SD 15: IQ = 100 + 15z. Всі три шкали описують одне явище з різними параметрами представлення.