Przejdź do treści
Liczbnik
Aktualne na rok 2026Metodologia →

Kalkulator kombinatoryki

Kalkulator kombinatoryki oblicza liczbe permutacji, kombinacji, wariacji oraz ich wariantow z powtorzeniami dla podanych n i k. Wybierz typ obliczen, podaj parametry n i k, a kalkulator wyswietli wynik i stosowany wzor matematyczny.

Na tej stronie

Wzory kombinatoryki

Permutacje: P(n) = n! Kombinacje: C(n,k) = n! / (k! x (n-k)!) Wariacje: V(n,k) = n! / (n-k)! Kombinacje z powtorzeniami: C'(n,k) = (n+k-1)! / (k! x (n-1)!) Wariacje z powtorzeniami: W'(n,k) = n^k Kalkulator oblicza silnie iteracyjnie i ogranicza n do 20, aby uniknac przepelnienia liczb.

Przyklad: kombinacje C(10,3) = 120

Ze zbioru 10 elementow (n=10) wybieramy 3 (k=3) bez wzgledu na kolejnosc. C(10,3) = 10! / (3! x 7!) = 3628800 / (6 x 5040) = 120. Jesli kolejnosc ma znaczenie — wariacje: V(10,3) = 10! / 7! = 720 sposobow.

Najczesciej zadawane pytania

Czym są permutacje?

Permutacja to każde uszeregowanie wszystkich n elementów zbioru. Liczba permutacji P(n) = n! (n silnia). Przykład: P(3) = 3! = 6, czyli ze zbioru {A, B, C} można ułożyć 6 różnych kolejności: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Czym są kombinacje?

Kombinacja to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, w którym kolejność nie ma znaczenia. Wzór: C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Przykład: z 10 osób wybieramy 3-osobowy komitet — C(10,3) = 120 sposobów. Kombinator nie rozróżnia, kto jest pierwszy, drugi czy trzeci.

Czym są wariacje i czym różnią się od kombinacji?

Wariacja (k-permutacja) to wybór k elementów z n elementów, w którym kolejność MA znaczenie. Wzór: V(n,k) = n! / (n−k)!. Przykład: V(10,3) = 720. Różnica: kombinacje ignorują kolejność, wariacje ją uwzględniają. C(10,3) = 120, V(10,3) = 720 — bo każda kombinacja daje k! = 6 różnych wariacji.

Kombinacja z powtórzeniami pozwala wybrać ten sam element więcej niż raz. Wzór: C'(n,k) = (n+k−1)! / (k! × (n−1)!). Przykład: w sklepie jest n=3 rodzaje owoców, kupujemy k=2 — liczba sposobów to C'(3,2) = 6 (może być 2 jabłka, 2 pomarańcze, 2 banany, jabłko+banan itp.).

Wariacja z powtórzeniami to ułożenie k elementów z n-elementowego zbioru, gdy każdy element może się powtarzać. Wzór: W'(n,k) = n^k. Przykład: 4-cyfrowy kod PIN z cyfr 0–9 (n=10, k=4) → 10^4 = 10 000 możliwych kombinacji. Właśnie dlatego PIN ma tak wiele kombinacji.

Silnia n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Konwencjonalnie 0! = 1. Przykłady: 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 10!=3 628 800, 20!=2 432 902 008 176 640 000. Silnia bardzo szybko rośnie — kalkulator obsługuje n do 20.

Kombinatoryka jest stosowana wszędzie tam, gdzie liczymy sposoby wyboru lub ułożenia: losowania i loterie (szansa wygranej w Lotto = C(49,6)⁻¹), kody i hasła, optymalizacja harmonogramów, analiza genetyczna, projektowanie eksperymentów, algorytmy przeszukiwania, teoria prawdopodobieństwa i statystyka.

W Lotto należy trafić 6 liczb z 49. Liczba możliwych kombinacji: C(49,6) = 13 983 816. Prawdopodobieństwo trafienia "szóstki" = 1 / 13 983 816 ≈ 0,0000071 (siedem na sto milionów). Kalkulator pozwala samodzielnie wyliczyć tę wartość wybierając typ "kombinacje", n=49, k=6.

Silnia 21! przekracza maksymalną precyzję liczb całkowitych w JavaScript (Number.MAX_SAFE_INTEGER = 2^53 − 1). 20! = 2 432 902 008 176 640 000, a 21! = 51 090 942 171 709 440 000 — wynik byłby zaokrąglony i niepoprawny. Do większych liczb potrzebne są biblioteki arytmetyki precyzyjnej.

C(n,k) — kombinacje BEZ powtórzeń: każdy element wybieramy co najwyżej raz. C'(n,k) — kombinacje Z powtórzeniami: ten sam element można wybrać wielokrotnie. Przykład: wybieramy 2 z 3 smaków lodów — C(3,2)=3 (różne smaki), ale C'(3,2)=6 (dopuszczone 2 gałki tego samego smaku).

Kalkulator oblicza wyniki dla liczb calkowitych n i k (n <= 20). Dla wiekszych liczb konieczne sa biblioteki arytmetyki precyzyjnej. Wyniki sa matematycznie poprawne dla podanych parametrow, lecz kalkulator nie zastepuje wykladu z kombinatoryki.

Powiązane kalkulatory