Kalkulator trójkąta

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta znając tylko długości trzech boków. Obliczamy półobwód s = (a+b+c)/2, a następnie pole = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)). Przykład: trójkąt 3-4-5 ma s = 6, pole = √(6·3·2·1) = √36 = 6.

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości dwóch krótszych boków (katety) równa się kwadratowi najdłuższego boku (przeciwprostokątnej): a² + b² = c². Klasyczny przykład to trójkąt 3-4-5: 9 + 16 = 25.

Ze względu na kąty: prostokątny (jeden kąt 90°), ostrokątny (wszystkie kąty <90°), rozwartokątny (jeden kąt >90°). Ze względu na boki: równoboczny (3 równe boki), równoramienny (2 równe boki), różnoboczny (3 różne boki).

Używamy twierdzenia cosinusów: cos A = (b²+c²−a²)/(2bc). Następnie kąt A = arccos(…). Kąt B obliczamy analogicznie: cos B = (a²+c²−b²)/(2ac). Kąt C = 180° − A − B (suma kątów trójkąta = 180°).

Trzy odcinki a, b, c tworzą trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność trójkąta: każdy bok musi być krótszy niż suma dwóch pozostałych: a+b>c, a+c>b, b+c>a. Jeśli któryś warunek nie jest spełniony, trójkąt nie istnieje.

Jeśli znamy boki a, b i kąt C między nimi, pole = (1/2)·a·b·sin(C). Przykład: a=3, b=4, kąt=90°: pole = 0.5·3·4·sin(90°) = 0.5·3·4·1 = 6.

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek boku do sinusa kąta naprzeciwległego jest stały: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego. Używamy go gdy znamy jeden bok i dwa kąty.

Wysokość h względem podstawy a obliczamy ze wzoru: h = 2·pole / a. Dla trójkąta 3-4-5 o polu=6: wysokość na bok 5 wynosi h = 2·6/5 = 2.4. Możemy też użyć trygonometrii: h = b·sin(C), gdzie C to kąt przy wierzchołku między bokami a i b.

Obwód trójkąta to suma długości wszystkich trzech boków: P = a+b+c. Jednostka to metry (m), centymetry (cm) itp. Pole to miara powierzchni wnętrza trójkąta obliczana np. wzorem Herona. Jednostka to m², cm² itp.

Trójkąt jest prostokątny, gdy spełnia twierdzenie Pitagorasa: a²+b²=c² (gdzie c to najdłuższy bok). Praktycznie: oblicz kwadrat najdłuższego boku i porównaj z sumą kwadratów dwóch pozostałych. Jeśli wyniki są równe — trójkąt jest prostokątny.