Стандартне відхилення розраховується як квадратний корінь з дисперсії, тобто середнього квадратів відхилень окремих значень від середнього арифметичного набору — чим вище значення стандартного відхилення, тим більший розкид даних навколо середнього.
Формула стандартного відхилення
Обчислення відбувається у чотири кроки:
- Крок 1 — обчисліть середнє арифметичне всіх значень у наборі даних.
- Крок 2 — для кожного значення відніміть середнє і піднесіть різницю до квадрата (відхилення від середнього в квадраті).
- Крок 3 — підсумуйте всі квадрати відхилень і поділіть на кількість спостережень (для всієї популяції) або на кількість спостережень мінус 1 (для вибірки) — це і є дисперсія.
- Крок 4 — витягніть квадратний корінь з дисперсії, що дає стандартне відхилення, виражене в тих самих одиницях, що й вхідні дані.
Стандартне відхилення популяції та вибірки
Ключова різниця стосується знаменника при обчисленні дисперсії. Якщо дані охоплюють всю популяцію (наприклад, результати всіх учнів у класі), ділять на кількість спостережень n. Якщо дані походять з вибірки, що має репрезентувати ширшу популяцію (наприклад, результати випадково обраних 30 учнів з усієї школи), ділять на n-1 — так звана поправка Бесселя, яка коригує недооцінку дисперсії, що виникає через обмежений розмір вибірки.
Числовий приклад
Дані: 4, 8, 6, 5, 3 (приймаємо як вибірку, n=5). Середнє = (4+8+6+5+3)/5 = 26/5 = 5,2. Відхилення від середнього: -1,2; 2,8; 0,8; -0,2; -2,2. Квадрати відхилень: 1,44; 7,84; 0,64; 0,04; 4,84. Сума квадратів = 14,8. Дисперсія вибірки = 14,8 / (5-1) = 14,8 / 4 = 3,7. Стандартне відхилення = √3,7 ≈ 1,92.
Як інтерпретувати результат
Стандартне відхилення виражається в тих самих одиницях, що й дані (наприклад, злоті, сантиметри, бали), на відміну від дисперсії, яка в одиницях у квадраті і складніша для інтуїтивної інтерпретації. Низьке значення стандартного відхилення означає, що дані зосереджені близько до середнього, а високе — що вони сильно розкидані. У нормальному розподілі близько 68% спостережень потрапляють в інтервал середнє ± 1 стандартне відхилення, а близько 95% — в інтервал середнє ± 2 стандартних відхилення.
Щоб швидко розрахувати стандартне відхилення для власного набору даних, скористайтеся готовим інструментом: Калькулятор стандартного відхилення →
Найпоширеніші запитання про стандартне відхилення
Як коротко розрахувати стандартне відхилення?
Обчислюється середнє набору, потім квадрати відхилень кожного значення від середнього, підсумовуються і діляться на кількість спостережень (популяція) чи кількість спостережень мінус 1 (вибірка), а наприкінці витягується квадратний корінь з результату.
Чим відрізняється стандартне відхилення популяції від вибірки?
При популяції суму квадратів відхилень ділять на n, а при вибірці — на n-1 (поправка Бесселя), яка коригує недооцінку мінливості, що виникає через обмежену чисельність вибірки.
Що означає високе стандартне відхилення?
Високе стандартне відхилення означає, що значення в наборі даних сильно розкидані навколо середнього, тоді як низьке вказує, що дані зосереджені близько до середнього.
Чим відрізняється стандартне відхилення від дисперсії?
Дисперсія — це середній квадрат відхилень від середнього, виражений в одиницях у квадраті, тоді як стандартне відхилення — це корінь з дисперсії, виражений у тих самих одиницях, що й оригінальні дані, що полегшує інтерпретацію.
Який відсоток даних потрапляє в 1 стандартне відхилення від середнього?
У нормальному розподілі близько 68% спостережень потрапляє в інтервал середнє ± 1 стандартне відхилення, а близько 95% — в інтервал середнє ± 2 стандартних відхилення.
Чи може стандартне відхилення бути від'ємним?
Ні, стандартне відхилення як квадратний корінь із суми квадратів завжди приймає невід'ємне значення — нуль означає відсутність мінливості, тобто всі значення ідентичні.
Для чого практично застосовується стандартне відхилення?
Для оцінки розкиду результатів вимірювань, мінливості доходності інвестицій, якості виробничих процесів та як основа багатьох статистичних тестів, включно з t-тестами і довірчими інтервалами.
Чи стандартна помилка — це те саме, що стандартне відхилення?
Ні, стандартна помилка середнього — це стандартне відхилення, поділене на корінь з чисельності вибірки — вона описує точність оцінки середнього, а не розкид окремих спостережень.
Як стандартне відхилення впливає на довірчий інтервал?
Вище стандартне відхилення даних відображається у ширшому довірчому інтервалі для середнього, оскільки більша мінливість даних означає меншу впевненість щодо точного значення параметра популяції.
Чи варто рахувати стандартне відхилення вручну, чи використовувати калькулятор?
Для великих наборів даних ручні обчислення трудомісткі і схильні до помилок, тому зручніше і швидше скористатися готовим калькулятором, який автоматично застосує правильну формулу для популяції чи вибірки.