Обчислення площі поверхні та об'єму геометричних тіл — навичка, необхідна в будівництві, архітектурі, фізиці та повсякденному житті. Чи хочете ви пофарбувати кімнату, спланувати басейн, обчислити місткість резервуара — вам завжди потрібні формули для тіл. Нижче ви знайдете повне зведення з прикладами.
Куб
Куб — це прямокутний паралелепіпед з усіма рівними сторонами (довжина ребра = a):
- Площа поверхні:
P = 6a² - Об'єм:
V = a³
Приклад: куб з ребром 5 см має площу P = 6 · 25 = 150 см² і об'єм V = 125 см³.
Прямокутний паралелепіпед
Паралелепіпед розмірами a × b × c:
- Площа поверхні:
P = 2(ab + bc + ac) - Об'єм:
V = a · b · c
Приклад: коробка 30 × 20 × 10 см: V = 6000 см³ = 6 літрів.
Циліндр
Циліндр з радіусом основи r і висотою h:
- Повна площа поверхні:
P = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h) - Площа бічної поверхні:
Pбічна = 2πrh - Об'єм:
V = πr²h
Приклад: циліндр r=10 см, h=30 см: V = π · 100 · 30 ≈ 9425 см³ ≈ 9,4 літра.
Конус
Конус з радіусом основи r, висотою h і твірною l (де l² = r² + h²):
- Повна площа поверхні:
P = πr² + πrl = πr(r + l) - Об'єм:
V = (1/3)πr²h
Об'єм конуса становить точно 1/3 об'єму циліндра з такими самими розмірами — цікава геометрична властивість.
Куля
Куля з радіусом r:
- Площа поверхні:
P = 4πr² - Об'єм:
V = (4/3)πr³
Приклад: м'яч діаметром 22 см (r=11 см): V = (4/3)π · 1331 ≈ 5575 см³.
Правильна призма
Призма з основою у вигляді правильного n-кутника, довжиною сторони основи a і висотою h:
- Площа основи:
Pосн = (n · a² / 4) · ctg(π/n) - Об'єм:
V = Pосн · h
Для трикутної призми (n=3), шестикутної (n=6) формули спрощуються до відомих форм.
Піраміда
Піраміда з основою у вигляді довільного многокутника площею Pосн і висотою h:
- Об'єм:
V = (1/3) · Pосн · h
Правило однієї третини діє для будь-якої піраміди, незалежно від форми основи.
Куля проти циліндра проти конуса — порівняння об'ємів
При однаковому радіусі r і висоті h = 2r (щоб куля вміщувалась у циліндрі):
- Циліндр: V = πr² · 2r = 2πr³
- Куля: V = (4/3)πr³ ≈ 1,333πr³
- Конус: V = (1/3)πr² · 2r = (2/3)πr³ ≈ 0,667πr³
Архімед пишався відкриттям, що відношення об'єму кулі до циліндра становить 2:3.
Практичне застосування
- Фарбування стін — площа поверхні стін і стелі приміщення (паралелепіпед без підлоги).
- Місткість резервуарів — циліндри для палива, води, газу.
- Земля в саду — об'єм паралелепіпеда чи призми для планування насипів.
- Бетон — об'єм фундаментів і бетонних основ.
Скористайтеся нашим калькулятором геометричних тіл для швидких обчислень без запам'ятовування формул.
FAQ — запитання про геометричні тіла
Яка формула для об'єму кулі?
Об'єм кулі = (4/3) · π · r³, де r — радіус. При діаметрі d: r = d/2. Приклад: куля діаметром 10 см має V = (4/3)π · 125 ≈ 523,6 см³.
Як обчислити площу поверхні циліндра?
Повна площа циліндра = 2πr(r + h), де r — радіус основи, h — висота. Включає дві основи (кола) і бічну поверхню (прямокутник, згорнутий у рулон).
Чим відрізняється площа поверхні від об'єму?
Площа поверхні — це міра зовнішньої оболонки тіла (одиниці: см², м²). Об'єм — це міра внутрішнього простору (одиниці: см³, м³, літри). Наприклад, для фарбування стіни потрібна площа, для наповнення басейну — об'єм.
Скільки літрів вміщує циліндр діаметром 1 м і висотою 1 м?
V = π · (0,5)² · 1 = π · 0,25 ≈ 0,785 м³ = 785 літрів. Пам'ятайте: 1 м³ = 1000 літрів.
Як обчислити твірну конуса?
Твірна l = √(r² + h²), де r — радіус основи, h — висота. Це просто діагональ прямокутного трикутника з катетами r і h.
Яка формула для площі шестикутної призми?
Основа правильного шестикутника зі стороною a: Pосн = (3√3/2) · a². Повна площа призми: P = 2 · Pосн + 6 · a · h, де h — висота.
Скільки землі потрібно для насипання кургану у формі конуса?
Об'єм конуса V = (1/3)πr²h. Наприклад, конус з радіусом основи 3 м і висотою 2 м: V = (1/3)π · 9 · 2 ≈ 18,85 м³. Густина ґрунту становить приблизно 1,2–1,5 т/м³, тому курган важить ~22–28 тонн.
Як обчислити об'єм неправильного тіла?
Методом Архімеда: занурте тіло у воду і виміряйте об'єм витісненої води. В інженерних розрахунках застосовують чисельне інтегрування чи програмне забезпечення CAD.
Яка одиниця об'єму в системі СІ?
Основна одиниця об'єму в СІ — кубічний метр (м³). Літр (Л) — це 0,001 м³ = 1 дм³. 1 см³ = 1 мл. Переведення: 1 м³ = 1000 Л = 1 000 000 см³.
Як перевірити обчислення об'єму?
Перевірте одиниці — об'єм повинен мати кубічні одиниці (см³, м³). Перевірте порівнянням: чи розумний результат? Наприклад, басейн 10×5×2 м — це 100 м³ = 100 000 літрів — саме стільки води потрібно для наповнення.