Тригонометрія: sin, cos, tan — формули та калькулятор онлайн

Тригонометрія — розділ математики, що вивчає зв'язки між кутами та сторонами трикутників. Тригонометричні функції — синус, косинус, тангенс і котангенс — необхідні в геометрії, фізиці, інженерії та інформатиці. У цьому посібнику ви дізнаєтесь про їхні визначення, формули та практичне застосування.

Визначення тригонометричних функцій

У прямокутному трикутнику з гострим кутом α, протилежним катетом a, прилеглим катетом b і гіпотенузою c:

• sin α = a / c — відношення протилежного катета до гіпотенузи
• cos α = b / c — відношення прилеглого катета до гіпотенузи
• tan α = a / b = sin α / cos α — відношення протилежного катета до прилеглого
• ctg α = b / a = cos α / sin α — відношення прилеглого катета до протилежного

Тригонометричні значення для типових кутів

Варто знати значення функцій для кутів 0°, 30°, 45°, 60° і 90°:

• 0°: sin=0, cos=1, tan=0
• 30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=1/√3 ≈ 0,577
• 45°: sin=√2/2, cos=√2/2, tan=1
• 60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3 ≈ 1,732
• 90°: sin=1, cos=0, tan=не визначений

Переведення градусів у радіани і навпаки

Наукові калькулятори часто працюють у радіанах. Щоб перевести:

• Градуси в радіани: рад = градуси × π / 180
• Радіани в градуси: градуси = рад × 180 / π

Приклад: 90° = π/2 ≈ 1,571 рад. Завжди перевіряйте режим калькулятора (DEG чи RAD) перед обчисленнями.

Основні тригонометричні формули

Основна тригонометрична тотожність

sin²α + cos²α = 1 — це найважливіша тригонометрична формула, яка випливає з теореми Піфагора.

Формули суми та різниці кутів

• sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
• cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
• tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)

Формули подвійного кута

• sin(2α) = 2 · sin α · cos α
• cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1

Тригонометричні функції на одиничному колі

На колі радіусом 1, для кута α, виміряного від осі OX:

• Координата x точки = cos α
• Координата y точки = sin α

Такий підхід розширює визначення на тупі, розгорнуті кути та кути більші за 360°, що необхідно у фізиці хвиль і сигналів.

Теорема синусів і косинусів

Для будь-якого трикутника зі сторонами a, b, c і кутами A, B, C навпроти них:

• Теорема синусів: a/sin A = b/sin B = c/sin C
• Теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab · cos C

Теорема косинусів — це узагальнення теореми Піфагора на непрямокутні трикутники.

Застосування тригонометрії на практиці

• Архітектура та будівництво — обчислення кута даху, довжини крокв, міцності конструкцій.
• Навігація — курс корабля чи літака визначається тригонометрично.
• Фізика — компоненти сил, швидкостей і прискорень у системі координат.
• Електроніка — синусоїдальні сигнали, фільтрація, аналіз Фур'є.
• Комп'ютерна графіка — обертання об'єктів 2D і 3D використовують sin і cos.

Скористайтеся нашим тригонометричним калькулятором, щоб швидко обчислити значення sin, cos і tan для будь-якого кута.

FAQ — часті запитання про тригонометрію