Як обчислити логарифм — формули та калькулятор 2026

Логарифми — один із фундаментальних інструментів математики, який використовується у фізиці, хімії, інформатиці, економіці та інженерії. Попри свою корисність, багато людей стикаються з труднощами при їх обчисленні. У цій статті ми пояснюємо крок за кроком, що таке логарифми, як їх рахувати і де застосовувати на практиці.

Що таке логарифм?

Логарифм — це відповідь на питання: до якого степеня потрібно піднести основу, щоб отримати задане число? Формально, логарифм числа b за основою a записуємо як loga(b) = x, що означає, що ax = b.

Приклад: log2(8) = 3, бо 2³ = 8.

Види логарифмів

На практиці найчастіше зустрічаємо три типи логарифмів:

• Десятковий логарифм (log або log₁₀) — основа 10, широко застосовується в точних науках та інженерії. Запис: log(100) = 2, бо 10² = 100.
• Натуральний логарифм (ln) — основа e ≈ 2,718, застосовується у вищій математиці, фізиці та економіці. Запис: ln(e) = 1.
• Двійковий логарифм (log₂) — основа 2, ключовий в інформатиці та теорії інформації. Запис: log2(32) = 5, бо 2⁵ = 32.

Основні формули та властивості логарифмів

Знання властивостей логарифмів значно спрощує обчислення. Ось найважливіші правила:

• Логарифм добутку: loga(x · y) = loga(x) + loga(y)
• Логарифм частки: loga(x / y) = loga(x) − loga(y)
• Логарифм степеня: loga(xn) = n · loga(x)
• Зміна основи: loga(b) = log(b) / log(a) = ln(b) / ln(a)
• Логарифм одиниці: loga(1) = 0 для будь-якої основи a
• Логарифм основи: loga(a) = 1

Як обчислити логарифм крок за кроком

Прямий метод

Коли основа та аргумент є степенями одного й того самого числа, логарифм визначаємо напряму. Приклад: log3(81). Ми знаємо, що 81 = 3⁴, тому log3(81) = 4.

Метод зміни основи

Коли ми не можемо напряму визначити показник степеня, використовуємо формулу зміни основи:

log5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828 / 1,609 ≈ 3

На калькуляторі: введіть ln(125), поділіть на ln(5) — результат буде 3.

Логарифм за допомогою калькулятора

Кожен науковий калькулятор має кнопки log (десятковий логарифм) і ln (натуральний логарифм). Щоб порахувати логарифм за іншою основою, застосовуйте формулу зміни основи.

Область визначення та властивості графіка

Логарифмічна функція f(x) = loga(x) визначена для x > 0. Не можна брати логарифм від'ємного числа чи нуля — спроба дасть помилку як на калькуляторі, так і математично. Графік монотонно зростає, коли a > 1, і спадає, коли 0 < a < 1.

Практичне застосування логарифмів

• Шкала Ріхтера — кожен ступінь означає у 10 разів сильніший землетрус (логарифмічна шкала).
• Децибели (dB) — інтенсивність звуку вимірюється в логарифмічній шкалі.
• pH розчину — pH = −log[H⁺], логарифм концентрації іонів водню.
• Складне зростання — час подвоєння капіталу: t = ln(2) / r, де r — ставка доходності.
• Алгоритми — часова складність O(log n) описує ефективність бінарного пошуку.

Типові помилки при обчисленні логарифмів

Уникайте цих помилок:

• Плутання log(x + y) з log(x) + log(y) — формула стосується виключно добутку, а не суми.
• Забування, що log(−5) не існує в дійсних числах.
• Помилкова зміна основи — завжди діліть логарифм аргументу на логарифм основи, а не навпаки.

Скористайтеся нашим калькулятором логарифма, щоб миттєво обчислити log, ln чи log₂ для будь-якого числа.

FAQ — часті запитання про логарифми